2012年全国高中数学联赛河南省预赛试题
本试卷满分140分
一、填空题(满分64分)
1、在小于20的正整数中,取出三个不同的数,使它们的和能够被3整除,则不用的取法种数为_________________.
2、将长为的线段任意截成三段,则这三段能够组成三角形的概率为_________________.
3、在ABC中,C
2,B
6,AC2,M为AB中点,将ACM沿CM
折起,使A,B之间的距
离为4、若锐角M到面ABC的距离为_________________. 满
足,n则角的度数为
_________________.
5、函数|x,0|lo2xgf(x)2270x8x,x4334,若a,b,c,互d不相同,且
f(a)f(b)f(c)f(d),则abcd的取值范围是_________________.
6、各项均为正数的等比数列
_________________.an中,2a4a32a2a18,则2a8a7的最小值为
A出发,沿着长方体的表面达到顶点C1的最ABC111D1顶点
超过实数 7、一只蚂蚁由长方体ABCD短距离为6,则长方体的体积最大值为______________. 8、x表示不x的最大整数,则
log21log22log23log22012_________.
二、(本题满分16分)如图,已知四棱锥E
菱形,
且ABCD的地面为
ABC
3,ABEC
2,AEBE(1)求证:平面EABABCD平面;
(2)求二面角AECD的余弦值.
三、(本题满分20分)已知函数
(1)当时x0,求证:
(2)当x
四、(本题满分20分)数列f(x)ln(1x) x1kx成立,求实数的值. 1x1 xn11且x0时,不等式f(x)xn中,x11且xn11
an的通项公式. (1
)设an,求数列
(2
)设bnxn,数列bn的前n项的和为S
n,证明:Sn. 2
x2
五、(本题满分20分) 已知椭圆过P 点y21,P是圆x2y216上任意一点,4
作椭圆的切线PA,PB,切点分别为A,B,求PAPB的最大值和最小值.
2012年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题
一、选择题(满分36分,每小题只有一个正确答案,请将正确答案的英文字母代号填入第1页指定地方,答对得6分,答错或不答均记0分)
2+x x>0
1.{5 x=0 则f(-2)+f(0)+f(1)+f(3)的值为
x 2 x<0
(A) 8. (B) 11. (C)131/4 (D)151/2
2. 一个锐角的正弦和余弦恰是二次三项式ax2+bx+c的不同的两个根,则a、b、c之间的关系是
(A) b2=a2-4ac (B) b2=a2+4ac (C) b2=a2-2ac (D) b2=a2+2ac
3.定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)=3f(x),当x∈[0,2]时,f(x)=x2-2x,则f(x)在x∈[-4,-2]上的最小值为
(A)-1/9 (B)-1/3 (C)1/3 (D)1/9
++4. 定义在正整数集Z上的函数f,对于每一个n∈Z和无理数π=3.14159265358...满足 f(n)= { k2的末位数字, (π的小数点后第n位数字k≠0) 3 (π的小数点后第n位数字k=0)
若函数f(f(n)的值域记为M ,则 A 1M B 5M C 6M D 9M
5.如图,在△ABC中,∠A=30°,∠C=90°,以C为圆心,CB为
半径作圆交AB边于M,交AC边于N,P为CM与BN的交点,若AN=1,
则S△CPN-S△BPM等于
(A)1/8 (B)√3/8 (C)1/4 (D) √3/4
6.定义在(-1,1)上的函数f(x)满足f(x)-f(y)=f(x-y/1-xy),且当x∈(-1,0)时,f(x)>0,若P=f(1/4)+f(1/5),Q=f(1/6),R=f(0);则P,Q,R的大小关系为
(A)R>P>Q. (B)R>Q>P. (C)P>R>Q. (D)Q>P>R.
二、填空题(满分64分,每小题8分,请将答案填入第1页指定地方)
1、求log2sin(π/3)+log2tan(π/6)+log2cos(π/4)的值
2. 已知f(x)是四次多项式,且满足f(i)=1/i ,i=1,2,3,4,5,求f(6)的值
3.若[x]表示不超过x的最大整数,求满足方程[nlg2]+[nlg5]=2012的自然数n的值
4、如图,半径为1的两个等圆相交,在圆的公共部分作一内接正方形ABCD。如果圆心距O1O等于1,试求正方形ABCD的面积.
5.求
的值
6.在单位正方形ABCD中,分别以A、B、C、D四点为圆心,以1为半径画弧,如右图所示.交点为M,N,L,K,求阴影部分的面积.
7、已知二次函数f(x)满足f(-10)=9,f(-6)=7,f(2)=-9,求f(100)的值
8、上底BC=2,下底AD=3的梯形ABCD的对角线相交于点O,彼此外切于点O的两个圆分别切直线AD于点A和D,交BC分别于点A和D,交BC
分别交于点K和L,求AK2+DL2的值