第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛
初三 第1试试题
一、选择题(每小题4分,共40分.)
1.若m、n是方程x2-2x+1=0的两个根,则-的值是( )
(A)±2. (B)±4. (C)±6. (D)±8.
2.设⊙O的半径是5,点P不在⊙O外,若点O与P的距离|OP|=m2-2m+2,则m的取值范围是( )
(A)m3. (B)-1≤m≤3. (C)m≤-1. (D)m≥3.
3.如图1,⊙O内的点P在弦AB上,点C在圆O上,PC⊥OP,若BP=2,AP=6,则CP
的长等于( )
(A)2. (B)4. (C)2. (D)3.
4.图2是类似“羊头的”图案,它左右对称,由正方形,等腰直角三角形构成,如果标有
数字“13”的正方形的边长是,那么标有数字“2”的等腰直角三角形的斜边的
长是( ) 图1
(A)4. (B)2. (C)2. (D).
5.若m、n分别是的整数部分和小数部分,则与(m+n)(n-m)的差的绝对
值最小的整数是( )
图2 (A)-55. (B)-56. (C)-16. (D)-15.
6.如图3,铁路MN和公路PQ在点O处交汇,∠QON=30°,点A在OQ上,AO=240(米),当火车行驶时,周围200米以内未受到噪音的影响,现有一列火车沿MN方向意72千米/时的速度行驶(火车的长度忽略不计),那么,A处受噪音影像的时间为( )
(A)12秒. (B)16秒. (C)20秒. (D)24秒.
图3
Fig.4 图5 图6
7.In △ABC as shown in fig. 4,AB=AC,BD=EC,BE=CF,if ∠A=50°,then the degree of ∠DEF is( )
(A)60°. (B)65°. (C)70°. (D)75°.
8.如图5,⊙O2的半径是1,正方形ABCD的边长是6,点O2是正方形ABCD的中心,O1O2垂直AD于P点,O1O2=8,若将⊙O1绕点P按顺时针方向旋转360°,在旋转过程中,与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现( )
(A)3次. (B)5次. (C)6次. (D)7次.
9.如图6,在同一个平面直角坐标系内,二次函数y1=ax2+bx+c(a≠0)和一次函数y2=dx+e(d≠0)的图象相交于点A(m,n)和点B(p,q),当y1
(A)mm.
10.如图7,在正方形ABCD中,点M、N分别在边AB、BC上运动(不与正方形的顶点重合),
BN=2AM,若图中的三个阴影三角形中至少有两个相似,则这样的点M有( )
(A)1个. (B)2个. (C)3个. (D)4个
. 图7
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二、A组填空题(每小题4分,共40分.)
11.已知实数a,b不相等,并且a2+1=5a,b2+1=5b,则12.If a1=1-,a2=1-,a3=1-+=,...,then a2013 in terms of m is .
13.如图8,在3×2的方格纸上,以某三个格点为顶点的三角形中,等腰三角形共有 个. 14.若实数x,y,z使2x+y+z=0和3x+2y+5z=0成立,并且z≠0,则的值是 . 15.
若一个三角形的三边长是
,,,则此三角形的面积是 .
16.已知抛物线y=ax2+bx+c(c≠0)与x轴的交点坐标为(-1,0),(3,0),当-2≤x≤5时,y的最大值为12,则该抛物线的解析式为 .
17.如图9,直角梯形纸片ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AB=10,BC=25,AD=15,以BD为折痕,将△ABD折起,旋转180°后,点A到点A1,则凹五边形BDCEA1的面积为 .
18.如图10,将边长为a的正方形ABCD绕其顶点C顺时针旋转45°,得四边形A′B′C′D′,则图中阴影部分的面积是 .
19.
If -=7,then the value range of real number a is .
20.如图11,从边长为5的正方形纸片ABCD中剪去直角△EBF(点E在边AB上,点F在边BC上),若EB+BF=则五边形AEFCD的面积的最小值是 . ,
三、B组填空题(每小题8分,共40分.)
21.图12是由若干个棱长为1厘米的正方形堆成的几何体,它的三视图中,面积最大的是 平方厘米,这个几何体的体积是 立方厘米.
22. 如图13,在△ABC中,∠A=50°,AB=AC=2,BD是边AC上的高,利用此图可求得tan15°= , BC=23.在直角坐标系内,如果一个点的横坐标和纵坐标都是整数,则称该点为整点,若凸n边形的顶点都是整点,并且多边形内部及其边上没有其它整点,则 n= .
图12 图13 图14 图15
24.如图14,直角梯形中,AB=1.5,CD=2,AF=1,AD=3,AB∥EF∥CD,∠A=90°,分别以AD,FE所在的直线为x轴、y轴建立坐标系(AD,FE为正方向)若抛物线过点B、C,并且它的顶点M在线段EF上,则a=,b=c=25.如图15,△ABC中,∠B=90°,∠A=60°,AB=AD=2,点 M在DC上,以M为圆心,以DM为半径的半圆切边BC于点N,交MC于点P,则DM= ,曲边的面积= .
附加题(每小题10分,共20分.)
1. 若f(x)=6x3-11x2+ax-6可以被g(x)=2x-3整除,则a当f(x)>0时,x的取值范围是. 2.有一堆黑,白围棋子,如果从中每次取出3枚黑子和2枚白子,当黑子被取完或剩下1枚或2枚时,则还剩35枚白子,如果每次取出5枚黑子和7枚白子,当白子被取完或剩下不足7枚时,则还剩下35枚黑子,那么这堆棋子中,原有黑子枚,白子枚
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参考答案及评分标准
题号
1
2 B 11 23 16
y=x-2x-3或
2
3 A 12 m 17
4 B
5 C 13 68 18
6 B
7 B 14 19
8 B
9 A 15 20
10 B
答案 D 题号 答案 题号 答案 题号 答案 题号 答案
评分标准:
y=-3x2+6x+9
145 22 2-;-
(-1)a2 23 3或4
a≥3 24 ;0; 附加题2 110;107
23 25
21 6;7
附加题1 7;x>
1~20题每题4分(其中16题写出一个解析式得2分);
21~25题每题8分(其中21,22,25题每空4分;24题前两空每空3分,最后一空2分); 附加题每题10分(每空5分).